Como expressar as dimensões de um retângulo inscrito num círculo de raio r em função de um ângulo θ até um vértice, e obter a área do retângulo?

Resposta:
b = \(2r\cos\theta\), h = \(2r\sin\theta\), então \(A_{r}=2r^{2}\sin(2\theta)\) e a área externa ao retângulo interna ao círculo é \(r^{2}\bigl(\pi-2\sin(2\theta)\bigr)\).

Explicação completa:
Considere o raio até um vértice do retângulo formando ângulo \( \theta \) com o eixo x, o semi-retângulo forma um triângulo retângulo com catetos \(b/2\) e \(h/2\) e hipotenusa \(r\). Assim \( \cos\theta=\dfrac{b}{2r}\) e \( \sin\theta=\dfrac{h}{2r}\), portanto
\(b=2r\cos\theta\), \(h=2r\sin\theta\).
Área do retângulo:
\(A_{r}=b\cdot h=(2r\cos\theta)(2r\sin\theta)=4r^{2}\sin\theta\cos\theta=2r^{2}\sin(2\theta)\).
Área do círculo menos a do retângulo:
\(A_{\text{externa}}=\pi r^{2}-2r^{2}\sin(2\theta)=r^{2}\bigl(\pi-2\sin(2\theta)\bigr)\).

Exemplo:
Se \(r=5\) e \(\theta=30^\circ\), então \(2\theta=60^\circ\) e \(\sin(60^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\).
\(A_{r}=2r^{2}\sin(2\theta)=2\cdot25\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}\).
Área externa ao retângulo:
\(A_{\text{externa}}=25\bigl(\pi-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)=25(\pi-\sqrt{3})\approx 25(3{,}14159-1{,}73205)\approx 35{,}24\).