Como usar soma e subtração de equações para eliminar variáveis e obter a soma de duas incógnitas?

Somente isto: somar e/ou subtrair equações escolhidas de modo que os termos indesejados se cancelem, ficando a soma procurada.

Explicação completa e exemplo:
Escolhe-se equações cuja combinação faz com que todos os termos, exceto os dois desejados, se eliminem. Soma-se as equações apropriadas e subtrai-se a equação que representa a soma total, o que isola a soma buscada.

Exemplo:
Considere:
\(I.\; p+q+r=12\)
\(II.\; r+s+t=14\)
\(III.\; t+u+v=18\)
\(IV.\; p+q+r+s+t+u+v=40\)
Some I, II e III:
\( (p+q+r)+(r+s+t)+(t+u+v)=12+14+18\)
\( \Rightarrow p+q+2r+s+2t+u+v=44\)
Subtraia IV dessa soma para eliminar todos os termos exceto \(r+t\):
\( (p+q+2r+s+2t+u+v) - (p+q+r+s+t+u+v) = 44-40\)
\( \Rightarrow r+t=4\)