Como usar diferenças entre variáveis e as condições de maior/menor para escrever e resolver um sistema linear com soma total?

Expressando as variáveis em função de uma base, aplicar a soma total e as restrições de máximo/mínimo e integridade para determinar a solução.

Explicação:
Defina variáveis para cada quantidade, escolha a menor como variável base, expresse as outras pelas diferenças conhecidas, considere as opções quando as diferenças não têm ordem fixa, substitua na equação da soma total, e use a condição de inteiro e de maior/menor para eliminar opções inconsistentes.

Exemplo:
Suponha cinco caixas com totais inteiros somando \(50\). As diferenças dadas: caixa3 - caixa4 = 4, caixa4 - caixa5 = 9, caixa2 e caixa3 diferem por 3 (ordem incerta), caixa1 e caixa2 diferem por 2 (ordem incerta), sabe-se que caixa5 é a maior e caixa4 a menor. Seja \(x_4=d\) a base, então
\(x_3=d+4,\; x_5=d+9\).
Se \(x_2=x_3-3=d+1\) e \(x_1=x_2+2=d+3\), a soma dá \(5d+17=50\Rightarrow d=33/5\), não inteiro, impossível.
Logo \(x_2=x_3+3=d+7\). Entre \(x_1\) e \(x_2\) a diferença é 2; não pode ser \(x_1=x_2+2\) porque tornaria \(x_1=d+9=x_5\), violando o maior, então \(x_2=x_1+2\Rightarrow x_1=d+5\). Substituindo na soma: \( (d+5)+(d+7)+(d+4)+d+(d+9)=5d+25=50\Rightarrow d=5\). Assim as caixas valem \(10,12,9,5,14\) respectivamente, atendendo todas as condições.