Como se obtêm os comprimentos na hipotenusa por semelhança quando se traçam paralelas a um cateto em um triângulo retângulo?

Usa-se a razão de semelhança: cada hipotenusa menor é proporcional à distância medida no cateto.

Explicação:
Em um triângulo retângulo com cateto de comprimento C e hipotenusa H, uma paralela ao cateto cortando-o a distância d do vértice do ângulo reto gera um triângulo semelhante cujo lado correspondente à hipotenusa vale \(h\) com
\( \dfrac{h}{H}=\dfrac{d}{C}\), portanto \(h=H\cdot\dfrac{d}{C}\).
Para várias paralelas, aplica-se a mesma proporção a cada distância.

Exemplo:
Considere um triângulo retângulo com catetos 5 e 12, logo a hipotenusa é \(H=13\).
Traçando uma paralela ao cateto de comprimento 12 a uma distância \(d=4\) do vértice do ângulo reto, a hipotenusa do triângulo menor vale
\(h=13\cdot\dfrac{4}{12}=13\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{13}{3}\approx4{,}333\).
Se houver outra paralela a \(d=8\), então
\(h_2=13\cdot\dfrac{8}{12}=13\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{26}{3}\approx8{,}667\).