Como usar as áreas do retângulo e do trapézio gerado por um ponto em um lado para determinar a altura do retângulo?

Usa-se a diferença entre as áreas para obter a área do triângulo formado, depois relaciona-se essa área à metade do produto da base fragmentada pelo ponto pela altura do retângulo.

Seja R a área do retângulo, T a área do trapézio, h a altura buscada, x a parte da base adjacente ao triângulo, e d a parte restante conhecida. Temos:

1) Área do triângulo = \(R-T\).
2) Área do triângulo = \(\dfrac{x\cdot h}{2}\), então \(x\cdot h = 2(R-T)\).
3) Como \(R = h(x+d)=h\cdot x + h\cdot d\), substituindo \(h\cdot x\) obtemos \(R = 2(R-T) + h\cdot d\).
4) Isolando \(h\): \(h = \dfrac{2T - R}{d}\).

Exemplo:
Suponha \(R=480\) cm\(^2\), \(T=320\) cm\(^2\), e \(d=10\) cm. Então:

Área do triângulo = \(R-T = 480-320 = 160\) cm\(^2\).
\(x\cdot h = 2(R-T) = 320\).
Usando a fórmula direta, \(h = \dfrac{2T - R}{d} = \dfrac{640 - 480}{10} = \dfrac{160}{10} = 16\) cm.

Logo a altura do retângulo é 16 cm.