Flashcard FC575804
Como expressar \(ab+ac+bc\) a partir da área total \(A_t\) de um paralelepípedo reto-retângulo com arestas \(a,b,c\)?
Geometria Espacial
FCC · 2025
Como expressar \(ab+ac+bc\) a partir da área total \(A_t\) de um paralelepípedo reto-retângulo com arestas \(a,b,c\)?
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Resposta
ab+ac+bc = A_t/2
A fórmula da área total é \(A_t=2(ab+ac+bc)\), portanto basta dividir \(A_t\) por 2 para obter \(ab+ac+bc\).
Se houver uma relação entre arestas, por exemplo \(c=b+k\), substitui-se na soma \(ab+ac+bc\) para obter uma equação em \(b\), que normalmente é quadrática, resolve-se e encontra-se \(b\) e \(c\).
Exemplo:
Dado \(a=5\), \(c-b=3\) e \(A_t=166\).
Calcule \(ab+ac+bc = A_t/2 = 83\).
Substituindo \(c=b+3\): \(5b+5(b+3)+b(b+3)=83\).
Isso gera \(b^2+13b+15=83\), ou \(b^2+13b-68=0\).
\(\Delta=13^2-4\cdot1\cdot(-68)=441\), \(\sqrt{\Delta}=21\).
\(b=\dfrac{-13\pm21}{2}\), tomando a raiz positiva \(b=4\), assim \(c=7\) e \(b+c=11\).
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Veja como foi cobrado:
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