Como se calcula a distância de um ponto a um plano e como essa distância determina o raio de um círculo de interseção com uma esfera?

Calcule a distância \(h=\frac{|ax_0+by_0+cz_0-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\), depois \(r=\sqrt{R^2-h^2}\).

Explicação: Calcule \(h\) pela fórmula da distância do ponto \((x_0,y_0,z_0)\) ao plano \(ax+by+cz=d\), esse \(h\) é a altura do cone e a distância do centro da esfera ao plano, e aplicando o teorema de Pitágoras na seção perpendicular obtém-se \(R^2=h^2+r^2\), portanto \(r=\sqrt{R^2-h^2}\).

Exemplo: Seja uma esfera de raio \(R=4\) com centro em \((1,1,1)\) e o plano \(x+y+z=6\).
Calcule \(h=\dfrac{|1+1+1-6|}{\sqrt{1+1+1}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\).
Então \(r=\sqrt{R^2-h^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{16-3}=\sqrt{13}\).