Como verificar se a sequência definida por \(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\) é periódica e como encontrar seu período?

Calcule termos até que o par \((a_n,a_{n+1})\) retorne ao par inicial; o menor \(p>0\) com \((a_p,a_{p+1})=(a_0,a_1)\) é o período.

Explicação, como a recorrência depende de dois termos anteriores, basta que o par ordenado se repita, então todos os termos subsequentes também se repetirão, assim \(a_{n+p}=a_n\) para todo \(n\).

Exemplo:
\(a_0=3,\ a_1=1\)
\(a_2=\dfrac{a_1}{a_0}=\dfrac{1}{3}\)
\(a_3=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{1}{3}\)
\(a_4=\dfrac{a_3}{a_2}=1\)
\(a_5=\dfrac{a_4}{a_3}=3\)
\(a_6=\dfrac{a_5}{a_4}=3\)
Observa-se \(a_6=a_0\) e \(a_7=a_1\), portanto o período é \(6\).