Como se usa tg α em triângulos retângulos para relacionar catetos e determinar comprimentos em figuras planas?

tg α = cateto oposto / cateto adjacente, use essa igualdade para montar equações entre segmentos e resolver incógnitas.

Exemplo:
Considere um retângulo com altura 8 cm. Uma reta parte do vértice inferior esquerdo e intersecta o lado superior formando um ângulo α com a base, com \( \tan\alpha=\dfrac{3}{4} \). Seja \(x\) a distância horizontal (cateto adjacente) até o ponto de interseção. Pela definição da tangente:
\( \tan\alpha=\dfrac{\text{oposto}}{\text{adjacente}} \Rightarrow \dfrac{8}{x}=\dfrac{3}{4} \).
Resolve-se para \(x\): \( x=8\cdot\dfrac{4}{3}=\dfrac{32}{3}\) cm.
Se for preciso a área do triângulo formado, calcule:
\( A=\dfrac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}=\dfrac{x\cdot 8}{2}=\dfrac{32/3\cdot 8}{2}=\dfrac{128}{3}\ \text{cm}^2\).
Use esse procedimento para obter outros segmentos relacionados pela tangente e depois aplicar fórmulas de área correspondentes.