Como se calcula a média aritmética total de dois grupos quando se conhecem as médias de cada grupo e a razão entre seus tamanhos?

Usa-se a média ponderada:
\( \displaystyle \bar{x}_{\text{total}}=\dfrac{\bar{x}_1 n_1+\bar{x}_2 n_2}{n_1+n_2}\).

Explicação:
Substitui-se os tamanhos pelos valores ou pela razão entre eles, por exemplo se \(n_1=r\,n_2\), coloca-se \(n_1\) em termos de \(n_2\) e simplifica-se a fração.

Exemplo:
Grupo A tem média \(\bar{x}_A=80\), Grupo B tem média \(\bar{x}_B=70\), razão \(n_A:n_B=4:1\).
Tomando \(n_A=4k\) e \(n_B=k\):
\( \bar{x}_{\text{total}}=\dfrac{80\cdot 4k + 70\cdot k}{4k+k}=\dfrac{320k+70k}{5k}=\dfrac{390k}{5k}=78\).