Como relacionar média, mediana, moda e amplitude para determinar os elementos de uma amostra ordenada?

Use as equações fundamentais:
soma dos termos = n·média, mediana determina a soma das observações centrais, amplitude = maior−menor, moda indica o valor que se repete; resolva esse sistema para os x_i e calcule \(s^2=\dfrac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n-1}\).

Explicação com exemplo
Parta das relações fornecidas, expresse incógnitas em função de uma variável quando possível, e use a moda para impor repetição de valor, depois calcule a variância amostral com denominador \(n-1\).

Exemplo:
Suponha uma amostra ordenada de 4 observações com média 6, mediana 5,5, moda 4, e amplitude 8.
Equações:
\(x_1+x_2+x_3+x_4=4\cdot6=24\)
\(\dfrac{x_2+x_3}{2}=5{,}5\Rightarrow x_2+x_3=11\)
\(x_4-x_1=8\Rightarrow x_4=x_1+8\)
Como a moda é 4, um valor se repete, escolha \(x_1=4,\;x_2=4\).
Da soma central vem \(4+x_3=11\Rightarrow x_3=7\).
Logo \(x_4=4+8=12\). A amostra é \(4,4,7,12\).
Cálculo da variância amostral, com \(\bar x=6\):
\(\sum (x_i-\bar x)^2=(4-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(12-6)^2=4+4+1+36=45\)
\(s^2=\dfrac{45}{4-1}=\dfrac{45}{3}=15\).