Flashcard FC624403
Se uma amostra de tamanho ímpar \(n\) está em progressão aritmética de razão \(r\), como expressar a variância amostral não viciada \(s^2\) em função de \(r\)?
Estatística Descritiva
CESGRANRIO · 2018
Se uma amostra de tamanho ímpar \(n\) está em progressão aritmética de razão \(r\), como expressar a variância amostral não viciada \(s^2\) em função de \(r\)?
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Resposta
Para \(n=2m+1\): \(s^2 = r^2\;\dfrac{(m+1)(2m+1)}{6}\).Explicação:
Com \(n=2m+1\) a média é o termo central, as diferenças são \(-mr,\dots,-r,0,r,\dots,mr\).
Somando os quadrados das diferenças: \(r^2\cdot 2\sum_{k=1}^m k^2\).
Como \(s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2=\dfrac{1}{2m}\,r^2\cdot 2\sum_{k=1}^m k^2\), obtemos
\(s^2=\dfrac{r^2}{m}\sum_{k=1}^m k^2\) e usando \(\sum_{k=1}^m k^2=\dfrac{m(m+1)(2m+1)}{6}\) resulta em \(s^2=r^2\;\dfrac{(m+1)(2m+1)}{6}\).
Exemplo:
Para \(n=7\) temos \(m=3\), logo \(s^2=\dfrac{14}{3}r^2\).
Se \(s^2=42\), então \(42=\dfrac{14}{3}r^2\Rightarrow r^2=\dfrac{42\cdot 3}{14}=9\Rightarrow r=3\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/623744
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