Como determinar o número de termos n de uma progressão geométrica conhecida a1, razão r>1 e soma S_n?

Isolando \(r^n\) na fórmula da soma e aplicando logaritmo:

Usando \(S_n=a_1\frac{r^n-1}{r-1}\), obtemos \(r^n=1+\dfrac{S_n(r-1)}{a_1}\) e \(n=\dfrac{\log\!\left(1+\dfrac{S_n(r-1)}{a_1}\right)}{\log r}.\)

Exemplo:
Suponha \(a_1=100\), \(r=1{,}1\), e \(S_n=1000\).
\(r^n=1+\dfrac{1000(1{,}1-1)}{100}=1+\dfrac{1000\cdot0{,}1}{100}=1+1=2\)
\(n=\dfrac{\log 2}{\log 1{,}1}\approx\dfrac{0{,}3010}{0{,}04139}\approx7{,}27\), portanto são necessários \(8\) termos inteiros para atingir ou superar a soma desejada.