Flashcard FC624471
Como calcular P(X_k = a | X_1 + ... + X_n = S) para sequências ordenadas equiprováveis?
Probabilidade
CESGRANRIO · 2012
Como calcular P(X_k = a | X_1 + ... + X_n = S) para sequências ordenadas equiprováveis?
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Resposta
\(P=\dfrac{\#\text{casos favoráveis}}{\#\text{casos totais}}\), contando sequências ordenadas que satisfazem a condição.Explicação:
Quando os resultados são equiprováveis, restrinja o espaço amostral a todas as sequências ordenadas com soma \(S\), conte-as e conte as que também atendem à condição \(X_k=a\).
Use a mudança \(y_i=x_i-m\) para ajustar o menor valor permitido, e a fórmula de estrelas e barras para soluções inteiras não negativas, o número de soluções de \(y_1+\dots+y_n=T\) é \(\binom{T+n-1}{n-1}\).
Exemplo:
Considere \(X_1,X_2,X_3\) uniformes em \(\{0,1,2,3\}\). Dado que \(X_1+X_2+X_3=3\), calcule \(P(X_2=1)\).
Casos totais: soluções não negativas de \(x_1+x_2+x_3=3\), são \(\binom{3+3-1}{3-1}=\binom{5}{2}=10\).
Casos favoráveis: impondo \(x_2=1\), restam \(x_1+x_3=2\), com \(\binom{2+2-1}{2-1}=\binom{3}{1}=3\) soluções.
Portanto \(P=\dfrac{3}{10}\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/623812
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