Flashcard FC624514
Se A e B são independentes e P(B)=k·P(A), como expressar P(A∪B) em função de P(A) e k?
Probabilidade
CESGRANRIO · 2012
Se A e B são independentes e P(B)=k·P(A), como expressar P(A∪B) em função de P(A) e k?
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Resposta
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=P(A)+kP(A)-kP(A)^2Como A e B são independentes, \(P(A\cap B)=P(A)P(B)=k\,P(A)^2\), logo \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+kP(A)-kP(A)^2\).
Se for dado \(P(A\cup B)=u\), monte a equação \(u=P(A)+kP(A)-kP(A)^2\) e resolva a quadrática em \(P(A)\), descartando raízes fora de \([0,1]\).
Exemplo:
Suponha \(P(B)=P(A)\) (logo \(k=1\)) e \(P(A\cup B)=\tfrac{3}{4}\).
Temos \( \tfrac{3}{4}=P(A)+P(A)-P(A)^2=2P(A)-P(A)^2\).
Rearranjando, \(P(A)^2-2P(A)+\tfrac{3}{4}=0\).
Discriminante \( \Delta=4-3=1\), então \(P(A)=\dfrac{2\pm1}{2}\), resultando em \(P(A)=\tfrac{3}{2}\) ou \(P(A)=\tfrac{1}{2}\).
Como probabilidade deve estar em \([0,1]\), \(P(A)=\tfrac{1}{2}\).
Logo \(P(A\cap B)=P(A)^2=\tfrac{1}{4}\).
Veja como foi cobrado:
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