Como calcular a probabilidade de que a maioria (pelo menos 2) de três julgadores independentes esteja correta, conhecendo suas probabilidades individuais?

Resposta

\(P = p_1p_2p_3 + p_1p_2(1-p_3) + p_1(1-p_2)p_3 + (1-p_1)p_2p_3\)

Por que: pela independência multiplicam-se probabilidades conjuntas, os casos favoráveis são exatamente dois corretos ou todos três corretos, e como são disjuntos, soma-se.

Exemplo: três sensores têm probabilidades de acerto \(p_1=0{,}6\), \(p_2=0{,}7\), \(p_3=0{,}9\). Calcule:

\(p_1p_2p_3=0{,}6\times0{,}7\times0{,}9=0{,}378\)
\(p_1p_2(1-p_3)=0{,}6\times0{,}7\times0{,}1=0{,}042\)
\(p_1(1-p_2)p_3=0{,}6\times0{,}3\times0{,}9=0{,}162\)
\((1-p_1)p_2p_3=0{,}4\times0{,}7\times0{,}9=0{,}252\)

Soma: \(P=0{,}378+0{,}042+0{,}162+0{,}252=0{,}834\). Logo a probabilidade da maioria estar correta é \(0{,}834\).