Como calcular \(P(\bar{B}\mid A)\) usando probabilidade total e probabilidade condicional a partir de \(P(A\mid B)\), \(P(A\cap\bar{B})\) e \(P(B)\)?

\(P(\bar{B}\mid A)=\dfrac{P(A\cap\bar{B})}{P(A)},\) onde \(P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\bar{B})P(A\mid\bar{B}).\)

Para aplicar, primeiro calcule \(P(A\mid\bar{B})=\dfrac{P(A\cap\bar{B})}{P(\bar{B})}\), depois use a lei da probabilidade total para obter \(P(A)\), e por fim use a definição de probabilidade condicional para obter \(P(\bar{B}\mid A)\).

Exemplo:
Suponha \(P(B)=0{,}4\), \(P(A\mid B)=0{,}9\) e \(P(A\cap\bar{B})=0{,}2\).
Primeiro \(P(\bar{B})=0{,}6\).
Calcule \(P(A\mid\bar{B})=\dfrac{0{,}2}{0{,}6}=\dfrac{1}{3}\).
Pela probabilidade total, \(P(A)=0{,}4\cdot0{,}9+0{,}6\cdot\dfrac{1}{3}=0{,}36+0{,}2=0{,}56\).
Finalmente \(P(\bar{B}\mid A)=\dfrac{P(A\cap\bar{B})}{P(A)}=\dfrac{0{,}2}{0{,}56}=\dfrac{5}{14}\approx0{,}357\).