Como se calcula a probabilidade posterior \(P(H\mid E)\) usando o Teorema de Bayes a partir de \(P(E\mid H)\), \(P(H)\) e \(P(E\mid\bar H)\)?

Aplicando o Teorema de Bayes:
\(P(H\mid E)=\dfrac{P(E\mid H)P(H)}{P(E\mid H)P(H)+P(E\mid\bar H)P(\bar H)}\)

Explicação e exemplo
A fórmula inverte a informação condicional, usando a verossimilhança \(P(E\mid H)\), a probabilidade a priori \(P(H)\), e a probabilidade do evento sob o complemento \(P(E\mid\bar H)\), para obter a probabilidade posterior \(P(H\mid E)\).

Exemplo
Considere um teste médico com prevalência da doença \(P(D)=0{,}05\), sensibilidade \(P(+\mid D)=0{,}90\), e especificidade \(95\%\), portanto \(P(+\mid\bar D)=0{,}05\).
Calcule \(P(D\mid +)\):
\(P(D\mid +)=\dfrac{P(+\mid D)P(D)}{P(+\mid D)P(D)+P(+\mid\bar D)P(\bar D)}\)
Substituindo:
\(=\dfrac{0{,}90\cdot0{,}05}{0{,}90\cdot0{,}05 + 0{,}05\cdot0{,}95} = \dfrac{0{,}045}{0{,}0925}\approx 0{,}4865\), ou seja cerca de 48,7%.
Esse cálculo mostra que mesmo testes bons podem gerar probabilidade posterior moderada quando a prevalência é baixa.