Como calcular a probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso?

Use a fórmula binomial, \(P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{\,n-k}\).

Explicação:
Cada sequência com k sucessos e n−k insucessos tem probabilidade \(p^k(1-p)^{\,n-k}\), multiplicamos pelo número de sequências distintas, que é \(\binom{n}{k}\).

Exemplo:
Suponha que a probabilidade de uma peça ser defeituosa seja \(p=0{,}1\). Em uma amostra de \(n=10\), a probabilidade de exatamente \(k=2\) defeituosas é
\(P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}1)^2(0{,}9)^8\)
\(=\;45\times0{,}01\times0{,}43046721\approx0{,}1937\) (≈19,37%).