Como calcular a probabilidade de duas sequências de n dígitos distintos, geradas aleatoriamente sem repetição, terem exatamente k dígitos em comum?

\(P=\dfrac{\binom{n}{k}\binom{10-n}{\,n-k\,}n!}{P(10,n)}\), onde \(P(10,n)=\dfrac{10!}{(10-n)!}=10\cdot9\cdots(10-n+1)\).

Raciocínio: fixe a primeira sequência com \(n\) dígitos distintos.
Escolha quais \(k\) desses \(n\) digitos serão preservados, \(\binom{n}{k}\).
Escolha os \(n-k\) dígitos novos entre os \(10-n\) restantes, \(\binom{10-n}{\,n-k}\).
Arranje os \(n\) dígitos escolhidos em \(n!\) ordens. Assim o número favorável é \(\binom{n}{k}\binom{10-n}{\,n-k}n!\).
Divida pelo total \(P(10,n)\) para obter a probabilidade.

exemplo: suponha \(n=3\) e \(k=1\).
Total de sequências com 3 dígitos distintos: \(P(10,3)=10\cdot9\cdot8=720\).
Casos favoráveis: \(\binom{3}{1}\binom{7}{2}3! = 3\cdot21\cdot6=378\).
Probabilidade: \(\dfrac{378}{720}=\dfrac{21}{40}=0{,}525\).