Como calcular a probabilidade de exatamente r sucessos em n eventos independentes, quando cada evento tem probabilidade p de sucesso?

Use a fórmula binomial:
\(P(X=r)=\binom{n}{r}p^{r}(1-p)^{\,n-r}\)

Exemplo:
Quatro peças são produzidas independentemente, cada uma com probabilidade de ser defeituosa \(p=0{,}1\). Qual a probabilidade de exatamente duas serem defeituosas?

Fórmula:
\(P_{2}=\binom{4}{2}(0{,}1)^{2}(0{,}9)^{2}\)
Cálculo:
\(\binom{4}{2}=6\), então \(P_{2}=6\cdot 0{,}01\cdot 0{,}81=6\cdot 0{,}0081=0{,}0486\).

Para calcular "no máximo um" defeituoso, some os casos \(r=0\) e \(r=1\):
\(P_{0}=(0{,}9)^{4}=0{,}6561\), \(P_{1}=4\cdot(0{,}1)\cdot(0{,}9)^{3}=0{,}2916\), então \(P_{0}+P_{1}=0{,}9477\).