Como calcular a probabilidade de que um subconjunto fixo de r elementos esteja incluído numa seleção aleatória de k elementos entre n, quando a ordem não importa?

\(P=\dfrac{\binom{n-r}{\,k-r\,}}{\binom{n}{k}}\)

Explicação:
O espaço amostral ao escolher k itens entre n sem ordem é \(\binom{n}{k}\).
Se um conjunto fixo de r itens deve estar incluído, restam escolher \(k-r\) itens entre os \(n-r\) restantes, total \(\binom{n-r}{k-r}\).
A probabilidade é a razão entre esses números.

Exemplo:
Escolher 5 pessoas entre 20, qual a probabilidade de que 3 pessoas específicas sejam todas escolhidas?
n=20, k=5, r=3.
Casos favoráveis: \(\binom{17}{2}=136\).
Espaço total: \(\binom{20}{5}=15504\).
Logo \(P=\dfrac{136}{15504}\approx 0{,}00877\) (≈0,877%).