Qual é a expressão combinatória para a probabilidade de que, ao selecionar k elementos sem ordem de uma população de n elementos, nenhum pertença a um subconjunto de m elementos?

Resposta

\(P=\dfrac{\binom{n-m}{k}}{\binom{n}{k}}\)

A probabilidade é o número de escolhas de k elementos fora do subconjunto de tamanho m, dividido pelo total de escolhas de k elementos na população de n, usando combinações, válido quando \(k\le n-m\).

Exemplo:
Uma caixa tem 40 lâmpadas, 10 são defeituosas, escolhem-se 5 sem reposição. A probabilidade de não sair nenhuma defeituosa é
\(P=\dfrac{\binom{30}{5}}{\binom{40}{5}}=\prod_{i=0}^{4}\dfrac{30-i}{40-i}=\dfrac{30\cdot29\cdot28\cdot27\cdot26}{40\cdot39\cdot38\cdot37\cdot36}\approx 0{,}216\).