Como calcular a probabilidade de ocorrência de duas aprovações consecutivas em três provas independentes?

Somando as probabilidades de casos disjuntos, cada um obtido pelo produto das probabilidades devido à independência.

Explanação:
Considere as três provas como 1, 2 e 3, com probabilidades de aprovação \(p_1,p_2,p_3\). Os casos disjuntos que garantem duas aprovações consecutivas são: passar em 1 e 2, ou fracassar em 1 e passar em 2 e 3. Assim
\(P=\;p_1p_2 \;+\; (1-p_1)p_2p_3\), pois multiplicamos probabilidades por independência, e somamos por disjunção.

Exemplo:
Suponha \(p_1=0{,}5,\;p_2=0{,}6,\;p_3=0{,}7\).
\(P(passar\;1\;e\;2)=0{,}5\cdot0{,}6=0{,}30\)
\(P(fracassar\;1\;e\;passar\;2\;e\;3)=(1-0{,}5)\cdot0{,}6\cdot0{,}7=0{,}5\cdot0{,}42=0{,}21\)
Logo \(P=0{,}30+0{,}21=0{,}51\).