Qual a expressão para a probabilidade de obter r sucessos antes de ocorrer s fracassos em ensaios independentes com probabilidade p de sucesso?

Resposta

Fórmula: \( \displaystyle \sum_{k=0}^{\,s-1} \binom{r-1+k}{k}\, p^{r}\,(1-p)^{k} \)

Explicação:
Contamos todos os cenários em que o r-ésimo sucesso ocorre quando já houve k fracassos, com \(k=0,\dots,s-1\).
O termo \(\binom{r-1+k}{k}\) conta as sequências possíveis das primeiras \(r-1+k\) partidas, e \(p^{r}(1-p)^{k}\) dá a probabilidade de cada sequência.

Exemplo:
Calcular a probabilidade de obter 3 sucessos antes de 2 fracassos, com \(p=0.6\).
Usamos \(r=3,s=2\), então

\( \displaystyle \sum_{k=0}^{1} \binom{2+k}{k}\, (0.6)^{3}\,(0.4)^{k}\)

\(= \binom{2}{0}(0.6)^{3}(0.4)^{0} + \binom{3}{1}(0.6)^{3}(0.4)^{1}\)

\(= 1\cdot0.216 + 3\cdot0.216\cdot0.4 = 0.216 + 0.2592 = 0.4752.\)