Flashcard FC624584
Como se calcula P((X1,...,Xn) ∈ A) quando X1,...,Xn são independentes e uniformes em [0,1]?
Probabilidade
CESGRANRIO · 2024
Como se calcula P((X1,...,Xn) ∈ A) quando X1,...,Xn são independentes e uniformes em [0,1]?
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Resposta
É o volume de A ∩ [0,1]^n, pois a densidade conjunta é 1 no cubo.Como a distribuição conjunta é constante igual a 1 em [0,1]^n, tem-se
P((X1,...,Xn)∈A) = ∫_{A∩[0,1]^n} 1\,dx = volume(A∩[0,1]^n).
Exemplo:
Sejam X1,X2 independentes e uniformes em [0,1]. A probabilidade de \(X_1^2+X_2^2<\tfrac{1}{4}\) é a área do quadrante de círculo de raio \(r=\tfrac{1}{2}\) dentro do quadrado, ou seja
\(P=\text{área}=\dfrac{\pi r^2}{4}=\dfrac{\pi(1/2)^2}{4}=\dfrac{\pi}{16}.\)
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