O que é a σ-álgebra gerada por uma variável aleatória X e como ela é formada?

A σ-álgebra gerada por X é a coleção de todas as uniões das pré-imagens dos valores de X, sendo a menor σ-álgebra que torna X mensurável.

Explicação:
As pré-imagens \(X^{-1}(\{y\})\) dos valores distintos de X são átomos mensuráveis. A σ-álgebra gerada por X, denotada por \(\sigma(X)\), contém \(\varnothing\), \(\Omega\) e todas as uniões possíveis desses átomos, logo se houver \(k\) átomos, \(\sigma(X)\) terá \(2^{k}\) conjuntos.

Exemplo:
Se \(\Omega=\{1,2,3,4\}\) e \(X\) é dada por \(X(1)=0,\;X(2)=0,\;X(3)=1,\;X(4)=2\), então as pré-imagens são:
\(X^{-1}(\{0\})=\{1,2\},\;X^{-1}(\{1\})=\{3\},\;X^{-1}(\{2\})=\{4\}.\)
Os átomos são \(\{1,2\},\{3\},\{4\}\), e a σ-álgebra gerada por X é todas as uniões desses átomos:
\(\sigma(X)=\{\varnothing,\{1,2\},\{3\},\{4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{3,4\},\{1,2,3,4\}\}\), aqui \(k=3\) e há \(2^{3}=8\) conjuntos.