Flashcard FC624592
Se X ~ Bin(n, 1/2) e Y ~ Bin(n+1, 1/2) independentes, qual é a probabilidade de Y > X?
Variáveis Aleatórias
CESGRANRIO · 2018
Se X ~ Bin(n, 1/2) e Y ~ Bin(n+1, 1/2) independentes, qual é a probabilidade de Y > X?
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Resposta
1/2
Por simetria, a diferença entre os primeiros n ensaios de Y e X é igualmente provável ser positiva ou negativa, e o último ensaio de Y quebra empates com probabilidade 1/2, logo \(P(Y>X)=\tfrac{1}{2}\).
Exemplo:
Considere n=2, então X~Bin(2,1/2) e Y~Bin(3,1/2).
As probabilidades são \(P(X=0)=\tfrac{1}{4},P(X=1)=\tfrac{1}{2},P(X=2)=\tfrac{1}{4}\) e \(P(Y=0)=\tfrac{1}{8},P(Y=1)=\tfrac{3}{8},P(Y=2)=\tfrac{3}{8},P(Y=3)=\tfrac{1}{8}\).
Calcule \(P(Y>X)=\sum_{j>k}P(Y=j)P(X=k)\):
\(P(Y>X)=\tfrac{3}{8}\cdot\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{8}\cdot\big(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}\big)+\tfrac{1}{8}\cdot 1=\tfrac{3}{32}+\tfrac{9}{32}+\tfrac{4}{32}=\tfrac{16}{32}=\tfrac{1}{2}.\)
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/623933
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