Qual a fórmula geral para a média e para a variância de uma transformação linear \(Y=AX\) de um vetor aleatório normal \(X\)?

E(AX)=A\,E(X), Cov(AX)=A\,Cov(X)\,A^T

Exemplo:
Se \(X\) tem \(\mu=(1,0)^T\) e \(\Sigma=\begin{pmatrix}2 & 0.5\\[2pt]0.5 & 1.5\end{pmatrix}\), e \(A=(3\; -1)\), então:
\(E(Y)=A\mu=3\cdot1+(-1)\cdot0=3\).
\(Var(Y)=A\Sigma A^T\). Primeiro \(A\Sigma=(3\; -1)\begin{pmatrix}2 & 0.5\\[2pt]0.5 & 1.5\end{pmatrix}=(5.5,\;0)\),
então \(Var(Y)=(5.5,\;0)A^T=5.5\cdot3+0\cdot(-1)=16.5\).
Portanto \(Y\sim N(3,16.5)\).