Como escolher α em uma combinação linear \( \widehat{\theta}_C=\alpha\widehat{\theta}_1+(1-\alpha)\widehat{\theta}_2 \) para minimizar Var(\widehat{\theta}_C) quando os estimadores

α = \(\dfrac{\mathrm{Var}(\widehat{\theta}_2)}{\mathrm{Var}(\widehat{\theta}_1)+\mathrm{Var}(\widehat{\theta}_2)}\)

Explicação: Para independência, \(Var(\widehat{\theta}_C)=\alpha^2Var_1+(1-\alpha)^2Var_2\). Derivando em relação a \(\alpha\) e igualando a zero, obtém-se \(2\alpha Var_1-2(1-\alpha)Var_2=0\), daí \(\alpha=\dfrac{Var_2}{Var_1+Var_2}\).

Exemplo:
Se \(Var_1=9\) e \(Var_2=4\) então \(\alpha=\dfrac{4}{9+4}=\dfrac{4}{13}\approx0{,}3077\).
Variância mínima obtida: \(Var_{min}=\dfrac{Var_1\cdot Var_2}{Var_1+Var_2}=\dfrac{9\cdot4}{13}=\dfrac{36}{13}\approx2{,}769\).