Flashcard FC624606
Se \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\), o que se conclui sobre \(\operatorname{Cov}(X,Y)\) e, se \(X\) e \(Y\) são conjuntamente normais, sobre sua independência?
Variáveis Aleatórias
CESGRANRIO · 2013
Se \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\), o que se conclui sobre \(\operatorname{Cov}(X,Y)\) e, se \(X\) e \(Y\) são conjuntamente normais, sobre sua independência?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
\(\operatorname{Cov}(X,Y)=0\), e se as variáveis são conjuntamente normais, são independentes.Explicação:
Usa-se a identidade \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)\).
Logo \(\operatorname{Cov}(X,Y)=\dfrac{V(X+Y)-V(X)-V(Y)}{2}=0\).
Para variáveis conjuntamente normais, covariância nula implica independência, portanto \(X\) e \(Y\) são independentes.
exemplo:
Suponha duas medições normais de temperatura, \(T_1\) e \(T_2\), com \(V(T_1)=4\), \(V(T_2)=1\) e \(V(T_1+T_2)=5\).
Calcule: \(\operatorname{Cov}(T_1,T_2)=\dfrac{5-4-1}{2}=0\).
Se \((T_1,T_2)\) têm distribuição normal conjunta, então \(T_1\) e \(T_2\) são independentes.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/623947
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em