Flashcard FC624607
Qual é a fórmula geral para a variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias, \( \operatorname{Var}\!\left(\sum a_i X_i\right)\)?
Variáveis Aleatórias
CESGRANRIO · 2013
Qual é a fórmula geral para a variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias, \( \operatorname{Var}\!\left(\sum a_i X_i\right)\)?
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Resposta
Var\(\sum a_i X_i\) = \(\sum a_i^2\operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{iExplicação:
Constantes somadas não alteram a variância, portanto só os coeficientes multiplicando as variáveis aparecem na fórmula.
Exemplo:
Se \(U=2A- B+3C-1\), com \(\operatorname{Var}(A)=1\), \(\operatorname{Var}(B)=4\), \(\operatorname{Var}(C)=2\), \(\operatorname{Cov}(A,B)=0{,}5\), \(\operatorname{Cov}(A,C)=-1\), \(\operatorname{Cov}(B,C)=0\), então
\( \operatorname{Var}(U)=2^2\operatorname{Var}(A)+(-1)^2\operatorname{Var}(B)+3^2\operatorname{Var}(C)\)
\(+2\big[ (2)(-1)\operatorname{Cov}(A,B)+(2)(3)\operatorname{Cov}(A,C)+(-1)(3)\operatorname{Cov}(B,C)\big]\)
\(=4\cdot1+1\cdot4+9\cdot2 +2\big[-1-6+0\big]\)
\(=4+4+18 +2(-7)=26-14=12\).
Veja como foi cobrado:
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