Flashcard FC624611
Se \(Y=aX\) com \(a\neq 0\), qual é o valor do coeficiente de correlação linear \(r\) entre \(X\) e \(Y\)?
Variáveis Aleatórias
CESGRANRIO · 2014
Se \(Y=aX\) com \(a\neq 0\), qual é o valor do coeficiente de correlação linear \(r\) entre \(X\) e \(Y\)?
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Resposta
r = a/|a|, ou seja r = +1 se a>0 e r = -1 se a<0.Como \( \operatorname{cov}(X,Y)=a\,\operatorname{Var}(X)\) e \(\sigma_Y=|a|\sigma_X\), temos
\(r=\dfrac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=\dfrac{a\,\operatorname{Var}(X)}{\sigma_X\cdot|a|\sigma_X}=\dfrac{a}{|a|}.\)
Exemplo:
Considere \(Y=-2X\) (a = -2). Tomando \(X=\{1,2,3\}\) como população, \(\overline{X}=2\), \(\operatorname{Var}(X)=\dfrac{(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{3}=\dfrac{2}{3}\).
Então \(\operatorname{cov}(X,Y)=a\,\operatorname{Var}(X)=-2\cdot\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{3}\).
Além disso \(\sigma_X=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\), \(\sigma_Y=|a|\sigma_X=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}\).
Logo \(r=\dfrac{-\tfrac{4}{3}}{\sqrt{\tfrac{2}{3}}\cdot 2\sqrt{\tfrac{2}{3}}}=\dfrac{-\tfrac{4}{3}}{\tfrac{4}{3}}=-1\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/623952
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