Qual é a expressão do coeficiente de correlação de Pearson e qual seu intervalo de valores?

\( \rho(X,Y)=\dfrac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{var}(X)\,\mathrm{var}(Y)}}\)
Intervalo: \([-1,1]\).

Explicação:
A covariância é \(\mathrm{cov}(X,Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])(Y-\mathbb{E}[Y])]\), o denominador normaliza pelas variâncias, tornando \(\rho\) adimensional e limitado a \([-1,1]\).

Exemplo:
Considere \(X\in\{1,2,3\}\) equiprovável e \(Y=2X\). Temos \(\mathbb{E}[X]=2\), \(\mathbb{E}[Y]=4\), \(\mathrm{var}(X)=\tfrac{2}{3}\), \(\mathrm{var}(Y)=\tfrac{8}{3}\), \(\mathrm{cov}(X,Y)=\tfrac{4}{3}\). Assim \(\rho=\dfrac{4/3}{\sqrt{(2/3)(8/3)}}=1\), indicando correlação linear perfeita positiva.

Exemplo adicional (zero não implica independência):
Se \(X\) é uniforme em \(\{-1,0,1\}\) e \(Y=X^2\), então \(\mathrm{cov}(X,Y)=0\) mas \(Y\) depende de \(X\), logo \(\rho=0\) não garante independência.