Flashcard FC624614
Se existe uma relação linear determinística \(Y=aX+b\) quase certamente com \(a\neq0\), qual o valor de \(\rho(X,Y)\) em função de \(a\)?
Variáveis Aleatórias
CESGRANRIO · 2013
Se existe uma relação linear determinística \(Y=aX+b\) quase certamente com \(a\neq0\), qual o valor de \(\rho(X,Y)\) em função de \(a\)?
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Resposta
\(\rho(X,Y)=\dfrac{a}{|a|)\), logo \(1\) se \(a>0\) e \(-1\) se \(a<0\).Porque se \(Y=aX+b\) então \(\mathrm{Cov}(X,Y)=a\,\mathrm{Var}(X)\) e \(\mathrm{Var}(Y)=a^2\mathrm{Var}(X)\), assim
\(\displaystyle \rho(X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}}=\frac{a\,\mathrm{Var}(X)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\,a^2\mathrm{Var}(X)}}=\frac{a}{|a|}.\)
Exemplo:
Considere \(Y=-4X+7\). Então \(\mathrm{Cov}(X,Y)=-4\mathrm{Var}(X)\) e \(\mathrm{Var}(Y)=16\mathrm{Var}(X)\), portanto
\(\displaystyle \rho(X,Y)=\frac{-4\mathrm{Var}(X)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\,16\mathrm{Var}(X)}}=\frac{-4\mathrm{Var}(X)}{4\mathrm{Var}(X)}=-1.\)
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