Como usar a fórmula de variância de combinações lineares para determinar Cov(X,Y) quando Var(X)=Var(Y)?

Usar \(Var(aX+bY)=a^2\sigma^2+b^2\sigma^2+2ab\,Cov(X,Y)\), montar o sistema para duas combinações, eliminar uma incógnita, resolver para \(Cov(X,Y)\) e então \( \rho=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma^2}\).

Para duas combinações genéricas, escreva
\(Var(aX+bY)=(a^2+b^2)\sigma^2+2ab\,Cov\)
\(Var(cX+dY)=(c^2+d^2)\sigma^2+2cd\,Cov\)
Some ou subtraia as equações de modo que os termos em \(Cov\) ou em \(\sigma^2\) se cancelem, resolva para \(\sigma^2\), depois encontre \(Cov\), por fim calcule \( \rho=\dfrac{Cov}{\sigma^2}\).

Exemplo
Suponha que \(Var(2X+4Y)=76\) e \(Var(1X-8Y)=179\), com \(Var(X)=Var(Y)=\sigma^2\). Então:
\(Var(2X+4Y)=20\sigma^2+16\,Cov=76\)
\(Var(1X-8Y)=65\sigma^2-16\,Cov=179\)
Somando as duas equações elimina \(Cov\):
\(85\sigma^2=255\Rightarrow \sigma^2=3\)
Substituindo em uma equação:
\(76=20\cdot3+16\,Cov\Rightarrow 16\,Cov=16\Rightarrow Cov=1\)
Logo \( \rho=\dfrac{Cov}{\sigma^2}=\dfrac{1}{3}\).