Flashcard FC624617
Como o coeficiente de correlação de Pearson se altera sob transformações afins \(X'=aX+b\) e \(Y'=cY+d\)?
Variáveis Aleatórias
CESGRANRIO · 2013
Como o coeficiente de correlação de Pearson se altera sob transformações afins \(X'=aX+b\) e \(Y'=cY+d\)?
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Resposta
Permanece inalterado se os fatores escalares \(a\) e \(c\) forem positivos; em geral \(r'=\operatorname{sgn}(ac)\,r\).Explicação:
Pelo definição, \(r=\dfrac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{var}(X)\,\mathrm{var}(Y)}}\).
Para \(X'=aX+b\) e \(Y'=cY+d\) vale \( \mathrm{cov}(X',Y')=ac\,\mathrm{cov}(X,Y)\), \(\mathrm{var}(X')=a^{2}\mathrm{var}(X)\), \(\mathrm{var}(Y')=c^{2}\mathrm{var}(Y)\).
Logo \( \displaystyle r'=\frac{ac\,\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{a^{2}\mathrm{var}(X)\;c^{2}\mathrm{var}(Y)}}=\frac{ac}{|a||c|}\,r=\operatorname{sgn}(ac)\,r.\)
Se \(a>0\) e \(c>0\), então \(r'=r\).
Exemplo:
Suponha \(\mathrm{cov}(X,Y)=5\), \(\mathrm{var}(X)=4\), \(\mathrm{var}(Y)=9\). Então \(r=\dfrac{5}{\sqrt{4\cdot9}}=\dfrac{5}{6}\approx0{,}8333\).
Converta distância de quilômetros para metros, \(a=1000\), e tempo de horas para minutos, \(c=60\).
Calcula-se \(\mathrm{cov}(X',Y')=1000\cdot60\cdot5=300000\), \(\mathrm{var}(X')=1000^{2}\cdot4=4{,}0\times10^{6}\), \(\mathrm{var}(Y')=60^{2}\cdot9=32400\).
Então \(r'=\dfrac{300000}{\sqrt{4{,}0\times10^{6}\cdot32400}}=\dfrac{300000}{360000}=\dfrac{5}{6}\approx0{,}8333\), o mesmo valor.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/623958
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