Como se determina a constante de normalização c de uma densidade contínua em [a,b] e como se calcula sua mediana?

Impondo \( \int_a^b f(x)\,dx=1 \) para achar c, depois obtendo \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\) e resolvendo \(F(M)=0{,}5\) para a mediana.

Detalhamento:
Se \(f(x)=c\,g(x)\) no suporte \([a,b]\), compute \(1=\int_a^b c\,g(x)\,dx\) e isole \(c\). Em seguida calcule \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\) e resolva \(F(M)=0{,}5\) para obter a mediana \(M\).

exemplo:
Considere \(f(x)=c(1+x)\) em \([0,1]\).
Normalização: \(1=\int_0^1 c(1+x)\,dx = c\left[x+\tfrac{x^2}{2}\right]_0^1 = c\left(1+\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{3c}{2}\), portanto \(c=\tfrac{2}{3}\).
CDF: \(F(x)=\int_0^x \tfrac{2}{3}(1+t)\,dt = \tfrac{2}{3}\left(x+\tfrac{x^2}{2}\right)=\tfrac{2x+x^2}{3}\).
Mediana: resolvendo \(\tfrac{2M+M^2}{3}=\tfrac{1}{2}\) obtemos \(M^2+2M-\tfrac{3}{2}=0\), logo \(M=\dfrac{-2+\sqrt{10}}{2}\approx0{,}5811\).