Flashcard FC624628
Como calcular E(XY) usando esperança condicional?
Variáveis Aleatórias
CESGRANRIO · 2013
Como calcular E(XY) usando esperança condicional?
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Resposta
Aplicando a propriedade \(E(XY)=E\big[X\,E(Y|X)\big]\).Explicação:
1) Calcule a média condicional \(E(Y|X)\).
2) Forme o produto \(X\,E(Y|X)\).
3) Calcule a esperança marginal \(E\big[X\,E(Y|X)\big]\) integrando sobre a distribuição de X.
exemplo:
Considere \(X\sim U(0,1)\) e \(Y|X\sim U(0,X)\).
Aqui \(E(Y|X)=\dfrac{X}{2}\).
Então \(E(XY)=E\!\left[X\cdot\dfrac{X}{2}\right]=\dfrac{1}{2}E(X^2)\).
Para \(X\sim U(0,1)\), \(E(X^2)=\dfrac{1}{3}\), logo \(E(XY)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\).
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