Como se calcula a esperança de uma variável aleatória contínua a partir de sua função densidade?

E(X)=\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx\), integrar sobre o suporte da densidade.

Explicação:
Calcule a integral de \(x\) vezes a densidade, restringindo os limites ao intervalo onde \(f_X(x)>0\). Isso fornece o valor esperado, que é a média ponderada dos possíveis valores pela sua densidade.

Exemplo:
Considere \(W\) com densidade \(f_W(w)=2(1-w)\) para \(0Calcule
\(E(W)=\displaystyle\int_0^1 w\cdot 2(1-w)\,dw =2\displaystyle\int_0^1 (w-w^2)\,dw =2\left[\frac{w^2}{2}-\frac{w^3}{3}\right]_0^1 =2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) =\frac{1}{3}.\)