Flashcard FC624631
Como se obtém a função densidade f(x) a partir da função de distribuição acumulada F(x) e como se calcula o desvio padrão de X usando f(x)?
Variáveis Aleatórias
CESGRANRIO · 2022
Como se obtém a função densidade f(x) a partir da função de distribuição acumulada F(x) e como se calcula o desvio padrão de X usando f(x)?
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Resposta
f(x)=F'(x). Calcule \(E(X)=\int x\,f(x)\,dx\), \(E(X^2)=\int x^2\,f(x)\,dx\), \(Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\) e \(SD(X)=\sqrt{Var(X)}\).
Se \(f(x)\) for par, então \(E(X)=0\) por simetria.
Exemplo:
Considere \(F(x)=\dfrac{x^2}{4}\) para \(0\le x\le2\). Então
\(f(x)=F'(x)=\dfrac{x}{2}\), \(0\le x\le2\).
Calculemos
\(E(X)=\int_{0}^{2} x\cdot\dfrac{x}{2}\,dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}x^{2}\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}\).
\(E(X^{2})=\int_{0}^{2} x^{2}\cdot\dfrac{x}{2}\,dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}x^{3}\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot4=2\).
\(Var(X)=2-\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}=2-\dfrac{16}{9}=\dfrac{2}{9}\).
\(SD(X)=\sqrt{\dfrac{2}{9}}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/623972
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