Como calcular a probabilidade, em uma distribuição binomial, de obter pelo menos r sucessos em n ensaios com probabilidade p de sucesso?

Somando as probabilidades de r até n: \( \displaystyle \sum_{i=r}^{n}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{\,n-i}\).

Explicação: a probabilidade de exatamente i sucessos é \( \binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\), portanto para "pelo menos r" soma-se essa expressão para i=r até n.

exemplo:
Suponha \(n=5\), \(p=0{,}3\), quer-se \(P(X\ge 3)\).
\(P(X\ge3)=\binom{5}{3}p^{3}(1-p)^{2}+\binom{5}{4}p^{4}(1-p)+\binom{5}{5}p^{5}\).
\(\binom{5}{3}=10,\ \ 10(0{,}3)^3(0{,}7)^2=10\cdot0{,}027\cdot0{,}49=0{,}1323\).
\(\binom{5}{4}=5,\ \ 5(0{,}3)^4(0{,}7)=5\cdot0{,}0081\cdot0{,}7=0{,}02835\).
\(\binom{5}{5}=1,\ \ (0{,}3)^5=0{,}00243\).
\(P(X\ge3)=0{,}1323+0{,}02835+0{,}00243\approx0{,}16308\ (\approx0{,}1631)\).