Como se calcula \(P(X\ge r)\) em uma variável aleatória binomial \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\)?

Somando \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\) para \(k=r,\dots,n\), ou usando o complemento \(P(X\ge r)=1-P(X\le r-1)\).

Explicação:
Para uma variável binomial \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\), a probabilidade de pelo menos \(r\) sucessos é

\(P(X\ge r)=\sum_{k=r}^{n}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\),
ou mais eficientemente,
\(P(X\ge r)=1-\sum_{k=0}^{r-1}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=1-P(X\le r-1)\).

Exemplo:
Suponha inspeção de 6 peças, probabilidade de peça defeituosa \(p=0.2\). Queremos \(P(X\ge 2)\) onde \(X\sim\mathrm{Bin}(6,0.2)\).
Usando o complemento:
\(P(X\ge 2)=1-[P(X=0)+P(X=1)]\).
\(P(X=0)=(0.8)^6=0.262144\).
\(P(X=1)=\binom{6}{1}(0.2)(0.8)^5=6\cdot0.2\cdot0.32768=0.393216\).
Logo \(P(X\ge 2)=1-(0.262144+0.393216)=1-0.65536=0.34464\).