Como se calcula a probabilidade de, no máximo, k sucessos para uma variável aleatória binomial X ~ Bin(n,p)?

Somando os termos da função massa de probabilidade:
Para X ~ Bin(n,p), \(P(X\le k)=\sum_{r=0}^{k}\binom{n}{r}p^{r}(1-p)^{\,n-r}\).

Explicação:
Calcule cada \(P(X=r)=\binom{n}{r}p^{r}(1-p)^{n-r}\) para \(r=0,\dots,k\) e some-os, você pode, em alguns casos, fatorar potências comuns de \((1-p)\) para simplificar os cálculos.

Exemplo:
Se \(n=8\), \(p=0.3\) e queremos \(P(X\le2)\):
\(P(X=0)=(0.7)^8\approx0.05764801\)
\(P(X=1)=\binom{8}{1}(0.3)(0.7)^7=8\cdot0.3\cdot(0.7)^7\approx0.19765032\)
\(P(X=2)=\binom{8}{2}(0.3)^2(0.7)^6=28\cdot0.09\cdot(0.7)^6\approx0.296352\)
Logo, \(P(X\le2)\approx0.05764801+0.19765032+0.296352\approx0.55165\).