Como se calcula P(X ≤ k) para uma variável aleatória X que segue a distribuição de Poisson?

Somando as probabilidades P(X=i) para i=0,...,k, usando \(P(X=i)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^i}{i!}\).

Para \(X\sim\) Poisson(\(\lambda\)), tem-se

\(P(X\leq k)=\sum_{i=0}^{k}P(X=i)=e^{-\lambda}\sum_{i=0}^{k}\dfrac{\lambda^{i}}{i!}\).

Exemplo:
Suponha média de 2 e-mails por hora, queira a probabilidade de receber no máximo 1 e-mail em uma hora.

\(P(X\leq 1)=P(0)+P(1)=e^{-2}\dfrac{2^0}{0!}+e^{-2}\dfrac{2^1}{1!}=e^{-2}(1+2)=3e^{-2}\approx 0{,}406\).