Em um processo de Poisson, como expressar P(T ≤ t) em termos da variável X que conta eventos em [0,t]?

P(T ≤ t) = 1 - P(X = 0) = P(X ≥ 1).

Se T é o instante do primeiro evento, T ≤ t significa que ocorreu ao menos um evento em [0,t], logo P(T ≤ t)=P(X ≥ 1). Pela complementaridade P(X ≥ 1)=1-P(X=0). Para um processo de Poisson com taxa λ, X ~ Poisson(λt) e P(X=0)=e^{-λt}, assim \(P(T\le t)=1-e^{-\lambda t}\).

Exemplo:
Uma loja recebe em média 3 visitas por hora, λ=3. Qual a probabilidade da primeira visita ocorrer nos primeiros 10 minutos? Aqui t=1/6 hora, então \(λt=3\cdot\frac{1}{6}=0.5\).
\(P(T\le t)=1-e^{-0.5}\approx 1-0.6065=0.3935\).