Qual é a esperança de uma binomial negativa com parâmetros r e p, e como se obtém a esperança de X quando X = Y + 1?

E[Y]=\(\dfrac{r(1-p)}{p}\).
E[X]=E[Y]+1=\(\dfrac{r(1-p)}{p}+1\).

Explicação, a binomial negativa conta o número de falhas até ocorrer r sucessos, com probabilidade de sucesso p, portanto a esperança é dada por \(E[Y]=\dfrac{r(1-p)}{p}\).
Se definimos \(X=Y+1\), somamos 1 à variável, assim \(E[X]=E[Y]+1\).

Exemplo:
Suponha r = 3 e p = 0.4, então \(E[Y]=\dfrac{3(1-0.4)}{0.4}=\dfrac{3(0.6)}{0.4}=4.5\).
Se \(X=Y+1\), então \(E[X]=4.5+1=5.5\).