Flashcard FC624677
Se X e Y são independentes e normalmente distribuídas, qual é a distribuição de W = aX + bY + c e como obter E(W) e Var(W)?
Principais Distribuições Contínuas
CESGRANRIO · 2013
Se X e Y são independentes e normalmente distribuídas, qual é a distribuição de W = aX + bY + c e como obter E(W) e Var(W)?
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Resposta
W é normal.E(W)=aE(X)+bE(Y)+c, Var(W)=a²Var(X)+b²Var(Y).
Explicação:
Se X e Y são independentes e normais, qualquer combinação linear \(W=aX+bY+c\) é normal, a média obtém-se por linearidade de esperança, e a variância soma-se em quadratura pelas independência, pois \(Cov(X,Y)=0\).
Fórmulas gerais:
\(E(W)=aE(X)+bE(Y)+c\)
\(Var(W)=a^{2}Var(X)+b^{2}Var(Y)\)
exemplo:
Se \(X\sim N(10,9)\) (variância 9) e \(Y\sim N(2,4)\), tome \(W=-3X+0{,}5Y+5\).
\(E(W)=-3\cdot10+0{,}5\cdot2+5=-30+1+5=-24\)
\(Var(W)=(-3)^{2}\cdot9+(0{,}5)^{2}\cdot4=9\cdot9+0{,}25\cdot4=81+1=82\), \(\sigma_{W}=\sqrt{82}\approx9{,}055\)
Para \(P(-40\(\dfrac{-40-(-24)}{\sqrt{82}}\approx\dfrac{-16}{9{,}055}\approx-1{,}768\), \(\dfrac{-10-(-24)}{\sqrt{82}}\approx\dfrac{14}{9{,}055}\approx1{,}545\)
Logo \(P(-40
Veja como foi cobrado:
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