Se X = A − B com A ~ N(μ1,σ1^2) e B ~ N(μ2,σ2^2) independentes, qual é a distribuição de X e como calcular P(X>0)?

X ~ N(μ1-μ2,\;σ1^2+σ2^2).
Padronize com \(Z=\dfrac{X-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\) e calcule \(P(X>0)=P\!\left(Z>\dfrac{0-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\right)=P\!\left(Z<\dfrac{\mu_1-\mu_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\right)\).

Exemplo:
Suponha notas com \(A\sim N(80,10^2)\) e \(B\sim N(75,8^2)\) independentes. Então \(X=A-B\) tem média \(80-75=5\) e variância \(10^2+8^2=164\), desvio \( \sqrt{164}\approx12{,}806\).
Padronizando, \(Z=\dfrac{X-5}{12{,}806}\). Assim
\(P(A>B)=P(X>0)=P\!\left(Z>\dfrac{0-5}{12{,}806}\right)=P(Z>-0{,}390)=P(Z<0{,}390)\approx0{,}652\).