Como se calcula P(a ≤ T ≤ b) para uma variável aleatória exponencial com taxa λ?

Resposta

P(a ≤ T ≤ b) = e^{-λa} - e^{-λb}.

Para T ~ Expon(λ), usamos a função distribuição acumulada F(t)=1-e^{-λt}, portanto

\(P(a\le T\le b)=F(b)-F(a)=(1-e^{-\lambda b})-(1-e^{-\lambda a})=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}.\)

Exemplo:
Suponha que o tempo de falha de um componente siga Expon(λ=0{,}2). A probabilidade de falhar entre 3 e 6 horas é
\(P(3\le T\le 6)=e^{-0{,}2\cdot 3}-e^{-0{,}2\cdot 6}=e^{-0{,}6}-e^{-1{,}2}\approx 0{,}5488-0{,}3012\approx 0{,}2476.\)